Suche
Close this search box.

Flächen­trägheitsmoment berechnen – Formeln und Rechner

Flächen­trägheitsmoment berechnen – Formeln und Rechner

Das Flächenträgheitsmoment ist eine signifikante Größe in der technischen Mechanik zur Berechnung von Spannungen, die sich durch Biegung und Torsion ergeben. Das Flächenträgheitsmoment und das Widerstandsmoment bilden einen wichtigen Bestandteil der Qualitätssicherung von alltäglich verwendeten Produkten und gewährleisten, dass die Produkte sicher und zuverlässig sind.

Die wichtigsten Beschreibungen, Formeln und Rechner zu diesem Thema finden Sie hier in diesem Artikel.

Was ist das Flächenträgheitsmoment?

Mit Hilfe des Flächenträgheitsmoments können Ingenieure feststellen, wie widerstandsfähig ein Material gegenüber Belastungen durch Torsion oder Biegung ist. Das Flächenträgheitsmoment wird benötigt, um z. B. die Biegenormalspannung zu ermitteln. Es ergibt sich aus dem Querschnitt eines Trägers. Weiterhin wird es zur Dimensionierung von Bauteilen und zur Bestimmung von Verformungen verwendet, was letztlich zur Bestimmung der Tragfähigkeit führt. Üblicherweise wird das Flächenträgheitsmoment in der SI-Einheit m4 angegeben.

Der Bezug des Flächenträgheitsmomentes (auch Flächenmoment 2. Grades genannt) in der Mechanik ist immer auf den Schwerpunkt einer aus einem Balkenschwerpunkt abgeleiteten geometrischen Größe ausgerichtet, wobei es an jedem Punkt des angenommenen Querschnittes konstant bleibt. Daraus lässt sich schlussfolgern: Querschnittsflächen, die weit vom Schwerpunkt entfernt große Teilflächen aufweisen, haben ein hohes Flächenträgheitsmoment.

Grundsätzlich unterscheidet man drei Arten von Flächenträgheitsmomenten:

  • polares Flächenträgheitsmoment
  • axiales Flächenträgheitsmoment
  • biaxiales Flächenträgheitsmoment

Arten

Axiales Flächen­trägheits­moment

Das axiale Trägheitsmoment definiert, wie stark sich ein Balken unter Belastung auf der Grundlage seiner Querschnittsabmessungen biegen wird. Je größer das axiale Trägheitsmoment ist, desto geringer sind die Durchbiegung und die inneren Spannungen im Querschnitt des Trägers. Der wichtigste Faktor, der sich auf die Ausdehnung von Trägern auswirkt, sind vertikal angeordnete Kräfte im Gegensatz zu ebenen Kräften.

Polares Flächen­trägheits­moment

Ein polares Flächenträgheitsmoment beschreibt den Torsionswiderstand eines geschlossenen Kreisringquerschnitts oder anderer Kreisquerschnitte. Alle anderen Fälle von Torsion werden durch das sogenannte Torsionsträgheitsmoment definiert. Um ein polares Trägheitsmoment zu berechnen, wird das Ende des Rohrs eingespannt und am anderen äußeren Ende mit einer Torsion belastet. Im Allgemeinen gilt: Je größer der Durchmesser des Rohrs ist, desto weniger verdreht es sich unter Belastung. Das polare Flächenträgheitsmoment bewertet in diesem Szenario den Durchmesser mit der höchsten Potenz.

Biaxiales Flächen­trägheits­moment

Das biaxiale Flächenträgheitsmoment, auch bekannt als Flächendeviationsmoment oder Flächenzentrifugalmoment, hilft bei der Berechnung von Verformung und Spannung bei belasteten asymmetrischen Profilen und bei asymmetrischer Belastung symmetrischer (oder beliebiger) Profile.

Es gilt zu beachten, dass das Flächendeviationsmoment bzw. Flächenzentrifugalmoment mit der Einheit m4 nicht mit dem Massendeviationsmoment bzw. Massenzentrifugalmoment verwechselt werden darf (Einheit kg·m²).

Berechnung und Formeln

Einheit

Üblicherweise wird die Einheit in cm4, mm4 oder auch m4 angegeben. Im amerikanisch sprachigen Raum kann es auch in in4 notiert werden.

Axiales Flächen­trägheits­moment

Mit dieser Gleichung lässt sich das axiale Flächenträgheitsmoment beschreiben:

z beschreibt hierbei den senkrechten Abstand der y-Achse zum Element dA.

y beschreibt hierbei den senkrechten Abstand der z-Achse zum Element dA.

Polares Flächenträgheitsmoment

Das polare Flächenträgheitsmoment setzt sich aus den beiden Flächenträgheitsmomenten Iy und  Iz zusammen:

Biaxiales Flächen­trägheits­moment

Mit dieser Gleichung lässt sich das biaxiale Flächenträgheitsmoment beschreiben:

Das Abweichungs- oder Zentrifugalmoment ist gleich Null, wenn die y-Achse oder die z-Achse eine Symmetrieachse für den Querschnitt ist. Die Flächenträgheitsmomente würden in diesem Fall als Hauptträgheitsmomente bezeichnet werden und Extremwerte annehmen. Im Gegensatz zu den Flächenträgheitsmomenten, die axial oder polar sind, kann diese Größe positiv oder negativ sein. Je nachdem, welche Literatur zu Rate gezogen wird, gibt es unterschiedliche Definitionen für dieses Vorzeichen – seien Sie also vorsichtig, wenn Sie Formeln verwenden, die das Deviationsmoment enthalten.

Satz von Steiner

Der Satz von Steiner dient zur Berechnung der Flächenträgheitsmomente für beliebige Querschnittsflächen. Innerhalb dieses Satzes setzt sich das Flächenträgheitsmoment aus dem Flächenträgheitsmoment in den Flächenmittelpunkten der einzelnen Teilflächen und dem Produkt aus dem Quadrat des Abstandes z von Schwerachse-Gesamtfläche zu Schwerachse-Teilfläche und Teilfläche A zusammen.

Weiterführende Formeln und Beschreibungen zum Satz von Steiner sowie dem Flächenträgheitsmoment für beliebige Polygone und Hauptträgheitsmomente und verdrehte Trägheitsmomente finden Sie unter folgendem Link.

Abgeleitete Größen

Widerstands­moment

Das Widerstandsmoment baut auf der Grundlage des Flächenträgheitsmomentes auf und misst die Steifigkeit eines Balkenquerschnitts, indem es das Verhältnis von Widerstand und Durchbiegung für diesen bestimmten Querschnitt berechnet.

In der Technik und Mechanik wird das Widerstandsmoment verwendet, um die Kraft zu berechnen, die erforderlich ist, um ein Objekt mit einer bestimmten Querschnittsbelastung zu bewegen.

Im Ingenieurwesen wird das Widerstandsmoment zur Berechnung der maximalen Torsions- oder Biegebelastbarkeit eines Bauteils sowie für statische Trägerberechnungen nach der Balkentheorie erster Ordnung verwendet. Die Widerstandsmomente häufig verwendeter Profile oder Profilquerschnittsgeometrien sind in technischen Tabellen zu finden, die für Sie am Ende dieses Artikels verlinkt sind. 

Flächen­trägheits­radius & Flächen­steife

Für eine optimale Materialausnutzung ist es am besten, eine große Oberflächensteifigkeit und einen großen Trägheitsradius zu haben. Dies führt jedoch zu großen Objekten, die aufgrund ihrer dünneren Wände anfällig für Knicke und Beulen sind.

Der Flächenträgheitsradius i ergibt sich aus der Wurzel der Flächensteife. Anders ausgedrückt ist die Flächensteife das Quadrat des Trägheitsradius. Aus dem Quotienten von Flächenträgheitsmoment I und der Querschnittsfläche A ergibt sich die Flächensteife.

Online-Rechner

Dieser Rechner ermittelt die polaren und axialen Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente, die Randfaserabstände, die Querschnittsflächen, die Torsionsträgheitsmomente und die Torsionsfestigkeit für Holz- oder Stahlprofile. Falls erforderlich, kann auch die Masse eines Trägers ermittelt werden. Als Materialien können Sie Stahl, Aluminium und verschiedene Hölzer wählen.

Zum Online-Rechner geht es hier.

Zusammen­fassung

Das Flächenträgheitsmoment wird zur Berechnung verschiedener abgeleiteter Größen wie Widerstandsmoment und Flächenträgheitsradius verwendet. Das Flächenträgheitsmoment kann mit Hilfe des Satzes von Steiner oder mit einem Online-Rechner berechnet werden. Mit Hilfe dieser Größen und daraus resultierenden Gleichungen können Ingenieure Strukturen entwerfen, die stark und effizient sind. Außerdem ist es wichtig, die Oberflächensteifigkeit, Trägheitsradius und Torsionsfestigkeit zu berücksichtigen.

Diese Kennzahl kann mit der CAD-Software Solid Edge berechnet werden. Zur Testversion gelangen Sie am Ende dieses Beitrags.

Quellen

https://de.wikipedia.org/wiki/Fl%C3%A4chentr%C3%A4gheitsmoment#Widerstandsmoment

https://www.maschinenbau-wissen.de/skript3/mechanik/festigkeitslehre/133-knickspannung-berechnen

https://www.maschinenbau-wissen.de/skript3/mechanik/festigkeitslehre/130-flaechentraegheitsmoment

Inhaltsverzeichnis