Die Finite-Element-Methode – Funktionsweise und Einsatz im Maschinenbau

Die Finite-Elemente-Methode – Funktionsweise und Einsatz im Maschinenbau

In den letzten Jahrzehnten ist die elektronische Datenverarbeitung immer weiter fortgeschritten und hat neue Möglichkeiten in einer Vielzahl von technischen Bereichen eröffnet. So können beispielsweise hochkomplizierte physikalische Prozesse, die früher nur durch aufwändige Experimente untersucht werden konnten, heute oft am Computer genau simuliert werden. Für ein Experiment ist in der Regel ein fertiges Modell oder ein Prototyp erforderlich, aber eine Simulation kann bereits in einem frühen Stadium der Entwicklung Daten über bestimmte Verhaltensmuster liefern. Die Finite-Elemente-Methode (FEM) ist eine solche Näherungstechnik, die in den letzten Jahren im Bereich der Ingenieurwissenschaften eine wichtige Rolle gespielt hat. Sie ist heute die am häufigsten verwendete Methode zur Berechnung komplexer Strukturen im Maschinenbau, im Bauwesen sowie in der Automobil-, Luft- und Raumfahrttechnik.

Definition

Bei der FEA (Finite-Elemente-Analyse) wird ein Bereich in kleinere Teile zerlegt, um das Gesamtverhalten besser zu verstehen. Dazu wird der Bereich in eine endliche Anzahl von Elementen unterteilt und dann mit Hilfe von Algorithmen das Verhalten der einzelnen Teilbereiche berechnet. Die Methode kann auf viele verschiedene Bereiche angewendet werden, so dass die Antwort auf die Frage „Was ist FEM?“ unterschiedlich ausfallen kann:

Die FE-Methode ist ein computergestütztes Berechnungsverfahren, das von Bauingenieuren verwendet wird, um z. B. zu ermitteln, ob ein Damm dem Wasserdruck standhalten kann. Ein Maschinenbauingenieur verwendet ein FE-Programm, um zu berechnen, ob ein Teil, eine Komponente oder ein System den auf sie einwirkenden Belastungen standhalten kann. Ein Mathematiker versteht unter FEM im Allgemeinen eine numerische Näherungsmethode zur Lösung von partiellen Differentialgleichungen unter beliebig variablen Randbedingungen.

Die Geschichte der FEM

Die Arbeiten von A. Hrennikoff (1941) und R. Courant (1943) führten erstmals das Konzept der Unterteilung eines kontinuierlichen Bereichs in kleinere Teilbereiche ein, das später als Finite-Elemente-Methode bekannt wurde. Dieser Begriff wurde 1960 von Ray William Clough geprägt, nachdem er die FEM zur Simulation von Tragflächen eines Boeing-Flugzeugs eingesetzt hatte.

In der Luft- und Raumfahrt wurde diese Analyse ursprünglich intuitiv durchgeführt, hat sich aber inzwischen auf verschiedene andere Bereiche ausgeweitet. Bei CAE-Berechnungen werden nur noch selten Finite-Differenzen-Methoden verwendet, da die FEM die Nutzung größerer Modelle in kürzerer Zeit ermöglicht. Viele physische Prototypen und Tests werden jetzt vermieden, weil ein FEM-Modell leicht zu ändern ist und zum schnellen Testen von Varianten verwendet werden kann.

Wie funktioniert die Finite-Elemente-Methode?

Bei der FEM wird ein Bauteil diskretisiert, wodurch es möglich wird, den Körper zu berechnen und zu ermitteln, wie er sich unter verschiedenen Umständen, wie z. B. Kräften oder Wärme, verhält. Das Verfahren verwendet Knoten, um einzelne Elemente zu identifizieren.

Für jedes dieser isolierten Elemente werden grundlegende Ansatzfunktionen gewählt, die für das physikalische Verhalten stehen. Das physikalische Verhalten des gesamten Körpers wird dadurch wiedergegeben, wie diese Teile auf die Kräfte, Gewichte und Kontaktbedingungen reagieren und wie sich die Lasten und Reaktionen von einem Element auf das benachbarte Element ausbreiten, wobei Kontinuitätsbedingungen gelten, die von den Ansatzfunktionen eingehalten werden müssen. Diese Kontinuitätsbedingungen sind je nach Problemstellung unterschiedlich.

Die Finite-Elemente-Methode ist eine Methode zur näherungsweisen Lösung von Differentialgleichungen, bei der Differenzquotienten verwendet und numerisch ausgewertet werden. Dieser Ansatz ist jedoch nicht perfekt, so dass die Ingenieure, die diese Methode anwenden, verstehen müssen, wie ihre Komponenten belastet werden und was schiefgehen könnte.

Wo wird FEM eingesetzt?

Mit dem Fortschreiten der Forschung wurde die Finite-Elemente-Methode zunehmend verallgemeinert und kann heute zur Lösung vieler verschiedener physikalischer Probleme eingesetzt werden. Mit Hilfe der FEM können Ingenieure einfache mechanische Verformungen, Rotationen, Vibrationen usw. simulieren, aber auch die Wechselwirkungen von Festkörpern und Flüssigkeiten unter einer Vielzahl von physikalischen Bedingungen – auch wenn sie miteinander gekoppelt sind.

Die Methode hat ein breites Spektrum an möglichen Anwendungen, wird aber am häufigsten in der Produktentwicklung eingesetzt. Sie ermöglicht eine schnellere und genauere Bewertung der mechanischen Festigkeit einzelner Bauteile oder ganzer Strukturen und spart damit sowohl Zeit als auch Geld, die sonst für die Herstellung von Prototypen und Tests aufgewendet werden müssten. So kann durch die Dimensionierung und Prüfung von Bauteilen am Computer der Entwicklungsprozess rationalisiert werden, da alle Arten von Belastungen berücksichtigt werden.

Die üblicherweise untersuchten Belastungen sind Zug- oder Druckspannungen, Wärmeschwankungen oder die Wirkung von Druck. Diese Methode ist sehr vielseitig und kann auf viele verschiedene Szenarien angewendet werden.

Der Ablauf einer Berechnung nach FEM

Der Prozess der Finite-Elemente-Berechnung besteht aus drei Schritten:

Beim Preprocessing wird das Modell vorbereitet, und bei der Vernetzung (Meshing) wird die Bauteiloberfläche in finite Elemente unterteilt. Es gibt verschiedene Arten von Elementen, wie Dreiecke, Vierecke, Tetraeder, Quader oder Lagrange-Elemente. Die Feinheit der Unterteilung wirkt sich direkt auf die Genauigkeit der Ergebnisse von Näherungsrechnungen aus. Je dichter das Netz jedoch ist, desto länger dauert die Berechnung. Das liegt daran, dass berücksichtigt werden muss, wie jedes Material unter verschiedenen Bedingungen reagiert, um seine mechanische Festigkeit vorherzusagen.
Der zweite Schritt ist das Lösen der Gleichungen. Ein Softwareprogramm, Solver genannt, löst das Gleichungssystem für ein FEM-Modell. Gleichungssysteme mit Millionen von Gleichungen sind nicht nur denkbar, sondern auch lösbar. Zu den ersten Ergebnissen gehören die Verschiebungen der einzelnen Knotenpunkte. Danach können Verformungen, Spannungen und Knotenkräfte berechnet werden. Solver gibt es ebenfalls für mechanische Eigenschaften wie thermische oder elektrische Kapazität sowie magnetische Eigenschaften oder Kombinationen davon.
In der Nachbearbeitungsphase (Postprocessing) werden die Ergebnisse ausgewertet. Da es oft eine große Anzahl von Elementen gibt, kann dies zu einer großen Anzahl von Ergebnissen führen. Um das Verständnis zu erleichtern, verwendet man grafische Darstellungen wie Farbdiagramme und -plots. Diese geben einen schnellen visuellen Überblick über das Geschehen.

Programme und Software

Aufgrund ihres Erfolgs haben die Finite-Elemente-Software und ihre Anwendungen jedes Jahr einen Umsatz von mehreren Milliarden Dollar erzielt.

Viele Unternehmen verwenden verschiedene Softwareprogramme mit einem ähnlichen Anwendungsspektrum; die Wahl des Programms hängt vom Bedarf, den Unternehmensstandards oder der Verfügbarkeit ab.
Viele kommerzielle CAD-Systeme enthalten Finite-Elemente-Pakete, mit denen sich komplexe lineare Probleme viel einfacher berechnen und auswerten lassen. Das Beste daran ist, dass der größte Teil des Prozesses automatisch abläuft, wie z. B. die Vernetzung.
Um die notwendigen Berechnungen durchzuführen, stellten die ersten Unternehmen ihren Nutzern Cloud-Dienste zur Verfügung, die die Berechnungen für sie übernahmen.
Pre-/Post-Prozessoren und FE-Solver sind zwei Arten von Software, die bei der grafischen Oberfläche helfen.
Einige Programm-Frameworks haben keine grafischen Benutzeroberflächen und werden meist per Programmiersprache bedient. Sie fungieren oft als Präprozessoren mit integrierten Gleichungslösern, um z. B. den FE-Solver mit selbst erstellten Zusatzroutinen zu steuern.

Software-Beispiel: Solid Edge

Solid Edge Simulation nutzt die Femap- und Simcenter Nastran-Technologie zur Erstellung genauer Finite-Elemente-Modelle. Mit diesem Werkzeug benötigen Sie nicht so viele physische Prototypen, was Kosten für Materialien und Tests spart und gleichzeitig den Zeitaufwand für die Konstruktion verringert.

Mit dieser Software können Sie schnell Finite-Elemente-Modelle sowohl für Massiv- als auch für Blechstrukturen erstellen. Sie können auch die Vernetzung anpassen, um genauere Ergebnisse zu erzielen. Bei Baugruppen erkennt die Software automatisch den Kontakt und stellt eine realistische Interaktion der Komponenten her. Dazu gehören iterative lineare und geklebte Kontakte. Die Trägeranalyse prüft, ob Baugruppen redundante Merkmale aufweisen, indem sie die angewandte Spannung aus der Rahmenkonstruktion verwendet. Am Ende dieses Beitrags finden Sie den Link zur Testversion von Solid Edge.

In diesem Video zeigen wir Ihnen, wie Sie mit dem integrierten FEM-Werkzeug „Solid Edge Simulation“ Lasten definieren und diese exakt an realistische Bedingungen anpassen können. Außerdem werden Vernetzungsgrößen für Komponenten vordefiniert und Verbindungen zwischen einzelnen Teilen angewendet. Nachdem die erste Berechnung abgeschlossen ist, werten Sie die angezeigten Ergebnisse aus und wenden Randbedingungen an, um schnell eine neue Berechnung mit leicht veränderten Parametern zu starten.