Widerstandsmoment berechnen

Widerstandsmoment berechnen – Formeln und Rechner

Das Widerstandsmoment ist eine signifikante Größe in der technischen Mechanik. Die Berechnung des Widerstandsmoments ist ein wichtiger Bestandteil der Qualitätssicherung von alltäglich verwendeten Produkten und gewährleistet, dass die Produkte sicher und zuverlässig sind.

Die wichtigsten Beschreibungen, Formeln und Rechner finden Sie hier in diesem Artikel.

Was ist das Widerstandsmoment?

Das Widerstandsmoment baut auf der Grundlage des Flächenträgheitsmomentes auf und misst die Steifigkeit eines Balkenquerschnitts, indem es das Verhältnis von Widerstand und Durchbiegung für diesen bestimmten Querschnitt berechnet.

In der Technik und Mechanik wird das Widerstandsmoment verwendet, um die Kraft zu berechnen, die erforderlich ist, um ein Objekt mit einer bestimmten Querschnittsbelastung zu bewegen.

Im Ingenieurwesen wird das Widerstandsmoment zur Berechnung der maximalen Torsions- oder Biegebelastbarkeit eines Bauteils sowie für statische Trägerberechnungen nach der Balkentheorie erster Ordnung verwendet. Die Widerstandsmomente häufig verwendeter Profile oder Profilquerschnittsgeometrien sind in technischen Tabellen zu finden, die für Sie am Ende dieses Artikels verlinkt sind.

Das Widerstandsmoment in der technischen Mechanik ist eine Größe, die sich ausschließlich aus der Geometrie (Form und Größe) eines Balkenquerschnitts ergibt. Es misst, wie viel Spannung ein Balken aufnehmen kann, bevor er bricht. Der Begriff Widerstandsmoment wurde erstmals von Friedrich Laissle (1829-1907) und Adolf von Schübler (1829-1904) verwendet, als sie 1857 die Widerstandsfähigkeit bei einfachen symmetrischen Querschnitten beschrieben.

Dabei werden zwei Momente unterschieden:

Das axiale Moment oder Biegewiderstandsmoment
Das polare Moment oder Torsionswiderstandsmoment

Der Widerstand, den ein Querschnitt aufnehmen kann, bevor er sich verformt, ist geometrisch mit dem Flächenträgheitsmoment verbunden. Anhand dieses Wertes wird dann berechnet, wie viel Last ein Träger aufnehmen kann, bevor er sich biegt oder seine Form verändert. Je nach den Abmessungen und dem verwendeten Material finden Sie in allgemeinen technischen Handbüchern Tabellen mit diesen Werten.

Was ist das Flächenträgheitsmoment?

Das Flächenträgheitsmoment ist ein geometrischer Wert, der in der Festigkeitslehre verwendet wird. Es leitet sich aus dem Querschnitt eines Trägers ab und hilft bei der Berechnung von Verformung und Spannung unter Biege- oder Torsionsbelastung. In den verwendeten Formeln wird das Flächenträgheitsmoment neben anderen Größen, wie z. B. der Belastung und den Eigenschaften des verwendeten Materials, berücksichtigt.

Das Flächenträgheitsmoment wird auch zur Berechnung derjenigen Lasten verwendet, die bei Überschreitung zum Ausknicken von Stäben führen.

Es ist wichtig, das Flächenträgheitsmoment nicht mit dem (Massen-)Trägheitsmoment zu verwechseln, das stattdessen den Widerstand eines rotierenden Objekts gegen die Winkelbeschleunigung beschreibt.

Was ist das axiale Widerstandsmoment?

Der Biegewiderstand wird als axiales Widerstandsmoment oder Biegewiderstandsmoment bezeichnet. Dieses Maß wird zur Berechnung der Spannung verwendet, die bei einer Biegebeanspruchung auftritt.

In der technischen Mechanik bezeichnet Biegen eine mechanische Veränderung der Geometrie von schlanken Bauteilen (Balken oder Bögen) oder von dünnen Bauteilen (Schalen oder Platten). Dies führt in der Regel zu einer Änderung der Krümmung der Mittellinie oder der Oberfläche im Vergleich zur Krümmung, die das Bauteil im unbelasteten Zustand hatte. Solche Krümmungen können Biegemomente und Spannungen erzeugen.

Was ist das polare Widerstandsmoment?

Der Torsionswiderstand wird als polares Widerstandsmoment oder Torsionswiderstandsmoment bezeichnet. Eine Torsionsbelastung führt zu einer Verdrehung des Körpers, und um die mechanischen Spannungen unter dieser Belastung (Schubspannung) zu berechnen, wird dieses Maß verwendet.

Versucht man, einen Stab mit einem Hebel zu verdrehen, der senkrecht zu seiner Längsachse steht, so wirkt auf ihn – zusätzlich zu einer eventuellen Querkraft – ein Torsionsmoment.

Formel

Wenn eine Kraft senkrecht zu einer Bezugsachse wirkt, versucht die Kraft, den Körper entweder zu biegen oder – wenn ein Hebel im Spiel ist – um diese Achse zu drehen. Wenn die Drehung nicht möglich ist, weil er eingespannt ist, entsteht ein Biege- oder Torsionsmoment. Widerstandsmomente werden immer unter Berücksichtigung der jeweiligen Momentenachse berechnet.

Das Widerstandsmoment ist definiert als:

mit

dem Flächenträgheitsmoment I und
a(max), dem maximalen senkrechten Abstand der Randfaser (Querschnittsrand) zur neutralen (spannungsfreien) Faser.

Die Einheit des Widerstandsmoments ist

Bei symmetrischen Querschnitten sind die Widerstandsmomente in den Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich groß. Wenn also Biegekräfte senkrecht zu dieser Achse wirken, sind auch die Spannungen in diesen Fasern gleich.

Beispiel Formel

Das Widerstandsmoment W wird für die Berechnung der Randspannungen verwendet.

Mit den Bezeichnungen der obigen Abbildung lautet die allgemeine Definition der Widerstandsmomente:

Beispiel Berechnung

Widerstandsmomente für den Rechteckquerschnitt:

Widerstandsmomente beziehen sich auf die Kennwerte von Schwerachsen. Da die Koordinaten

jeweils verschiedene Vorzeichen innerhalb der Formel aufweisen, sind auch die Widerstandsmomente vorzeichenbehaftet. So sind die auf den oberen bzw. rechten Querschnittsrand bezogenen Widerstandsmomente stets negativ, die auf den unteren bzw. linken Querschnittsrand bezogenen Widerstandsmomente stets positiv und haben die Einheit .

Online Rechner

Dieser Rechner ermittelt die polaren und axialen Widerstandsmomente und Flächenträgheitsmomente, die Randfaserabstände, die Querschnittsflächen, die Torsionsträgheitsmomente und die Torsionsfestigkeit für Holz- oder Stahlprofile. Falls erforderlich, kann auch die Masse eines Trägers ermittelt werden. Als Materialien können Sie Stahl, Aluminium und verschiedene Hölzer wählen.

Zum Online-Rechner geht es hier.

Zusammenfassung

Das Widerstandsmoment ist eine wichtige mechanische Eigenschaft, die zur Berechnung der Spannungen in einer Struktur verwendet wird, die Biege- oder Torsionsbelastungen ausgesetzt ist. Das Widerstandsmoment ist definiert als das Verhältnis des Trägheitsmoments zum maximalen Abstand der Randfasern (Querschnittskanten) von der Mittellinie und kann mit einer einfachen Formel berechnet werden. Widerstandsmoment von symmetrischen Querschnitten. Die Widerstandsmomente sind für beide Randfasern parallel zur Symmetrieachse gleich und damit auch die Spannungen, die durch senkrecht zu dieser Achse wirkende Biegekräfte verursacht werden. Das Widerstandsmoment kann mit Hilfe eines Online-Rechners genau berechnet werden. Das Widerstandsmoment ist eine nützliche Kennzahl, die bei der Planung einer Struktur oder der Auswahl eines Materials für ein Projekt berücksichtigt werden sollte.